最近看到了系外行星的探测方法——视向速度法（radial velocity measurements），还挺有意思的，顺手记录一下。
系外行星探测方法
系外行星直接探测的难度很大，因为行星通常离主星很近，同时又很暗，而由于仪器及大气扰动造成的星光衍射会将行星掩盖。比如我们的太阳系，在可见光波段太阳亮度约为木星亮度的 $10^9$，当然，这种差距在红外波段会减小。正因如此绝大多数系外行星探测方法，都是间接探测法。主要原理是依靠行星对主星的作用，或者行星在主星到地球的光路上。在众多间接探测方法中，视向速度法与测光凌星法，是迄今为止最成功的系外行星探测方法。下面主要介绍视向速度法。
视向速度法简介
虽然我们不能直接看见行星，但是可以探测到行星对恒星的引力影响。如下图所示：
行星与恒星由于引力作用，绕他们共同的质心做开普勒运动，恒星会周期性的靠近我们或者远离我们。由于多普勒效应，恒星靠近我们的时候，其光谱会蓝移，而当恒星远离我们的时候，其光谱会红移。由于行星对恒星的作用非常小，需要足够的信噪比才能确定其谱线移动。虽然测量单个谱线，就可以得到谱线平移量，但是其测量误差非常大，因此需要测量大量恒星谱线，来确定光谱平移量。因此视向速度法多观测晚型星，因其发射线众多。不仅如此，早期恒星自转速度快，会导致光谱自转致宽，不利于确定其谱线中心，而且早型星激烈的恒星活动会带来显著的噪声。
太阳系中，对太阳带来最大视向速度的是木星，可造成太阳 $12.5 m/s$ 的视向速度振幅以及 $11.86 yr$ 的视向速度周期。
视向速度法模型
由于我们对行星级质量感兴趣，因此动力学主要由多个质量体的引力相互作用来描述。模型涉及的开普勒轨道参数主要有：行星轨道周期（$P$）、轨道偏心率（$e$）、轨道的倾斜度（$i$）、升交点经度（$\omega$）、平近点角（$M$）等。
对于多行星系统，使用多体模型正确模拟行星运动是非常重要的。由于在大多情况下，行星之间的摄动影响在与观测持续时间相当的时间尺度上可以忽略不计，此时，可以用多个无摄动的开普勒轨道的线性叠加来描述多行星系统引起的视向速度扰动。
对于无摄动的开普勒轨道上的行星，平近点角是开普勒轨道主要参数中唯一随时间变化的，此时径向速度曲线可由固定轨道参数的 $N$ 个开普勒轨道的叠加来描述：
$$ v_{r}(t)=\sum_{i=1}^{N} K_{i}\left[\cos\left(T_{i}+\omega_{i}\right)+e_{i} \cos \omega_{i}\right] $$
其中 $i$ 是行星序号，$K$ 是视向速度的半振幅 。$T$ 是真近点角，与偏近点角 $E$ 有关：
$$ \tan \left(\frac{T}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \left(\frac{E}{2}\right) $$
而偏近点角 $E$ 与平近点角 $M$ 有如下关系：
$$ E(t)-e \sin [E(t)]=M(t)-M_{0}=\frac{2 \pi}{P}(t-\tau) $$
其中 $M_{0}$ 是常数，代表 $t = \tau$ 时的轨道位相。视向速度半振幅 $K$ 与行星质量 $m$ 有关：
$$ K=\frac{m \sin i}{M_{*}}\left(\frac{2 \pi G M_{*}}{P}\right)^{1 / 3}\left(1-e^{2}\right)^{-1 / 2}\left(1+\frac{m}{M_{*}}\right)^{-2 / 3} $$
其中 $M_{*}$ 是指恒星的质量。
实际模拟时，可以先假设行星轨道是圆轨道，此时偏心率 $e$ 为零，可以很大程度上简化计算过程。
详细的介绍可以参看Eric B. Ford 2006 ApJ 642 505
